如圖，⊙O與△ABC的AC邊相切於點C，與AB、BC邊分別交於點D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直徑．（1）求...

問題詳情：

如圖，⊙O與△ABC的AC邊相切於點C，與AB、BC邊分別交於點D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直徑．

（1）求*：AB是⊙O的切線；

（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的長．

【回答】

（1）*：連接OD、CD，

∵CE是⊙O的直徑，

∴∠EDC＝90°，

∵DE∥OA，

∴OA⊥CD，

∴OA垂直平分CD，

∴OD＝OC，

∴OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE，

∵DE∥OA，

∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，

∴∠AOD＝∠AOC，

∵AC是切線，

∴∠ACB＝90°，

在△AOD和△AOC中

∴△AOD≌△AOC（SAS），

∴∠ADO＝∠ACB＝90°，

∵OD是半徑，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：∵BD是⊙O切線，

∴BD2＝BE•BC，

設BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，

∴42＝x（x+6），

解得x＝2或x＝﹣8（捨去），

∴BE＝2，

∴BC＝BE+EC＝8，

∵AD、AC是⊙O的切線，

∴AD＝AC，

設AD＝AC＝y，

在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，

∴（4+y）2＝y2+82，

解得y＝6，

∴AC＝6，

故AC的長為6．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題