如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切於點D，OB與⊙O相交於點E．（1）求*：AC...
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問題詳情：
如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切於點D，OB與⊙O相交於點E．
（1）求*：AC是⊙O的切線；
（2）若BD=
，BE=1．求*影部分的面積．
【回答】
【分析】（1）連接OD，作OF⊥AC於F，如圖，利用等腰三角形的*質得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根據切線的*質得OD⊥AB，然後利用角平分線的*質得到OF=OD，從而根據切線的判定定理得到結論；
（2）設⊙O的半徑為r，則OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（
）2=（r+1）2，解得r=1，則OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三邊的關係得到∠B=30°，∠BOD=60°，則∠AOD=30°，於是可計算出AD=
OD=
，然後根據扇形的面積公式，利用*影部分的面積=2S△AOD﹣S扇形DOF進行計算．
【解答】（1）*：連接OD，作OF⊥AC於F，如圖，
∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AB與⊙O相切於點D，
∴OD⊥AB，
而OF⊥AC，
∴OF=OD，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△BOD中，設⊙O的半徑為r，則OD=OE=r，
∴r2+（
）2=（r+1）2，解得r=1，
∴OD=1，OB=2，
∴∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠AOD=30°，
在Rt△AOD中，AD=
OD=
，
∴*影部分的面積=2S△AOD﹣S扇形DOF
=2×
×1×
﹣
=
﹣
．
【點評】本題考查了切線的判定與*質：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．圓的切線垂直於經過切點的半徑．判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”．也考查了等腰三角形的*質．
知識點：各地中考
題型：解答題
