已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交於點D，DE⊥AC，垂足為點E．（1）求*...
來源：國語幫 1.31W
問題詳情：
已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交於點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求*：點D是AB的中點；
（2）判斷DE與⊙O的位置關係，並*你的結論；
（3）若⊙O的直徑為18，cosB=
，求DE的長．
【回答】
【分析】（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底邊“三線合一”*結論；
（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可*DE⊥OC，*結論；
（3）連接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=
，求得BD=6，則AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=
，可求AE，利用勾股定理求DE．
【解答】（1）*：連接CD，
∵BC為⊙O的直徑，∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即點D是AB的中點．
（2）解：DE是⊙O的切線．
*：連接OD，則DO是△ABC的中位線，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切線；
（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，
∴cosB=cosA=
，
∵cosB=
，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cosA=
，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=
．
【點評】本題考查了切線的判定與*質，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形的運用，關鍵是作輔助線，將問題轉化為直角三角形，等腰三角形解題．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
