如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，交BC於點D，交AC於點E，點D為弧BE的中點．（1）試判斷△ABC的...

問題詳情：

如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，交BC於點D，交AC於點E，點D為弧BE的中點．

（1）試判斷△ABC的形狀，並説明理由； （2）直線l切⊙O於點D，與AC及AB的延長線分別交於點F，點G． ①∠BAC=45°，求的值； ②若⊙O半徑的長為m，△ABC的面積為△CDF的面積的10倍，求BG的長（用含m的代數式表示）．

【回答】

 解析：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 連接AD，如圖1所示．  

∵AB為⊙O的直徑， ∴AD⊥BC． ∵點D為弧BE的中點， ∴， ∴∠BAD=∠DAC， ∴∠ABD=∠ACD， ∴△ABC為等腰三角形． （2）①連接OD，如圖2所示．  

∵直線l是⊙O的切線，點D是切點， ∴OD⊥GF． ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠BAD=∠DAC， ∴OD∥AC， ②過點B作BH⊥GF於點H，如圖3所示．  

∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴S △ABD=S △ACD． ∵S △ABC=10S △CDF， ∴S △ACD=5S △CDF， ∴AF=4CF． ∵BH∥AC， ∴∠HBD=∠C．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：簡答題