如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O交斜邊AC於點D，過圓心O作OE∥AC，交BC於點E，連接DE．（...

問題詳情：

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O交斜邊AC於點D，過圓心O作OE∥AC，交BC於點E，連接DE．

（1）判斷DE與⊙O的位置關係並説明理由；

（2）求*：2DE2=CD•OE；

（3）若tanC=，DE=，求AD的長．

【回答】

【考點】MR：圓的綜合題．菁優網版權所有

【分析】（1）先判斷出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，進而判斷出∠ODE=90°，即可得出結論；

（2）先判斷出△BCD∽△ACB，得出BC2=CD•AC，再判斷出DE=BC，AC=2OE，即可得出結論；

（3）先求出BC，進而求出BD，CD，再借助（2）的結論求出AC，即可得出結論．

【解答】解：（1）DE是⊙O的切線，理由：如圖，

連接OD，BD，∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∵OE∥AC，OA=OB，

∴BE=CE，

∴DE=BE=CE，

∴∠DBE=∠BDE，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB，

∴，

∴BC2=CD•AC，

由（1）知DE=BE=CE=BC，

∴4DE2=CD•AC，

由（1）知，OE是△ABC是中位線，

∴AC=2OE，

∴4DE2=CD•2OE，

∴2DE2=CD•OE；

（3）∵DE=，

∴BC=5，

在Rt△BCD中，tanC==，

設CD=3x，BD=4x，根據勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，

∴x=﹣1（舍）或x=1，

∴BD=4，CD=3，

由（2）知，BC2=CD•AC，

∴AC==，

∴AD=AC﹣CD=﹣3=．

【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的*質，等腰三角形的*質，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和*質，鋭角三角函數，判斷出△BCD∽△ACB是解本題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題