如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線交BC於點F，交△ABC的外接圓⊙O於點D；連接BD，過點D作直...

問題詳情：

    如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線交BC於點F，交△ABC的外接圓⊙O於點D；連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC．

    （1）求*：直線DM是⊙O的切線；

    （2）求*：DE2＝DF·DA．

【回答】

    思路分析：（1）①連接DO，並延長交⊙O於點G，連接BG；②*∠BAD＝∠DAC；③*∠G＝∠BAD；④*∠MDB＝∠G；⑤*∠GDM＝90°；（2）①利用相似*BD2＝DF·DA；②利用等角對等邊*DB＝DE．  

*：（1）如答圖1，連接DO，並延長交⊙O於點G，連接BG；

∵點E是△ABC的內心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．

∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，

∵DG為⊙O的直徑，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．

∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直線DM是⊙O的切線；

答圖1  答圖2

         （2）如答圖2，連接BE．

           ∵點E是△ABC的內心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．

           ∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．

           ∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．

           ∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．

           ∴DE2＝DF·DA．

知識點：各地中考

題型：綜合題