如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點，連接OF並延長交於點D，過點D作DE∥AC，交BA的延長線於點E，連...

問題詳情：

如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點，連接OF並延長交於點D，過點D作DE∥AC，交BA的延長線於點E，連接AD、CD.

(1)求*：DE是⊙O的切線；

(2)若OA＝AE＝2時，

①求圖中*影部分的面積；

②以O為原點，AB所在的直線為x軸，直徑AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角座標系，試在線段AC上求一點P，使得直線DP把*影部分的面積分成1∶2的兩部分．

【回答】

 (1)*：如解圖，連接OC，

∵OA＝OC，F為AC的中點，

∴OD⊥AC，

又∵DE∥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD為⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

(2)解：①由(1)得OD⊥DE，

∴∠EDO＝90°，

∵OA＝AE＝2，

∴OA＝OD＝AD＝2，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠AOD＝∠DAO＝60°，

∴∠ACD＝∠AOD＝30°，

又∵AC⊥OD，

∴∠CAO＝∠CAD＝30°，

∴∠ACD＝∠CAO，

∴CD∥AB，

∴S△ACD＝S△OCD，

∴S*＝S扇形OCD，

∵∠CAD＝∠OAD－∠OAC＝60°－30°＝30°，

∴∠COD＝2∠CAD＝60°，

∴S*＝＝π；

②由已知得：A(－2，0)，C(1，)，

∴直線AC的表達式為y＝x＋，

如解圖，過點P1分別作P1M⊥x軸，P1N⊥AD，垂足分別M，N，

由①得AC平分∠OAD，

∴P1M＝P1N，

設P1(x，x＋)(－2≤x≤1)，

P1M＝P1N＝x＋，

∵直線DP1把*影部分面積分成1∶2的兩部分，

若S△AP1D＝S*，即×2·(x＋)＝×π，

解得：x＝，此時P1(，)，

若S△AP2D＝S*，同理可求得P2(，)，

綜上所述：滿足條件的點P的座標為P1(，)和P2(，).

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題