如圖，AC是⊙O的直徑，弦BE⊥AC於H，F為⊙O上的一點，過點F的直線與AC的延長線交於點D，與BE的延長線...

問題詳情：

如圖，AC是⊙O的直徑，弦BE⊥AC於H，F為⊙O上的一點，過點F的直線與AC的延長線交於點D，與BE的延長線交於點M，連接AF交BM於G，且MF＝MG.

(1)求*：MD為⊙O的切線；

(2)求*：當MD∥AB時，FG2＝MF·EG；

(3)在(2)的條件下，若cosM＝，FD＝6，求AG的長．

【回答】

(1)*：∵MF＝MG，

∴∠MFG＝∠MGF＝∠AGB，

如解圖，連接FO，

∵OF＝AO，

∴∠OFA=∠OAF，

∵BE⊥AC，

∴∠AGH+∠OAF=∠MFG+∠OFA=90°，

即∠MFO＝90°，

∵OF為⊙O的半徑，

∴MD為⊙O的切線；

(2) *：∵MD∥AB，

∴∠M＝∠ABM，

如解圖，連接EF，

∵∠EFG＝∠ABM，

∴∠M＝∠EFG，

∵∠MGF＝∠FGE，

∴△MGF∽△FGE，

∴＝，

又∵MG=MF，

∴FG2＝MF·EG；

          第19題解圖

：∵∠M＝∠ABM，cosM＝，

∴設AH＝3k，AB＝5k，HB＝4k，

如解圖，連接OB，

∵∠FOD＝∠M，FD＝6，

∴FO＝8＝OB＝OA，

∴OH＝8－3k，

∴OH 2＋HB 2＝OB2，

∴(4k)2＋(8－3k)2＝82，

解得k＝或k=0（捨去），

∵MD∥AB，

∴∠MFG＝∠BAF，

∴∠BGA＝∠BAG，

∴AB＝GB＝5k，

∴GH＝k，

∴AG＝k，

∴AG＝.

知識點：相似三角形

題型：綜合題