如圖，△ABC內接於⊙O，直徑DE⊥AB於點F，交BC於點M，DE的延長線與AC的延長線交於點N，連接AM．（...

問題詳情：

如圖，△ABC內接於⊙O，直徑DE⊥AB於點F，交BC於點 M，DE的延長線與AC的延長線交於點N，連接AM．

（1）求*：AM=BM；

（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的長．

【回答】

【考點】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．

【分析】（1）由垂徑定理可求得AF=BF，可知DE為AB的垂直平分線，可得AM=BM；

（2）連接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的長可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，則可求得BC的長．

【解答】（1）*：

∵直徑DE⊥AB於點F，

∴AF=BF，

∴AM=BM；

（2）連接AO，BO，如圖，

由（1）可得 AM=BM，

∵AM⊥BM，

∴∠MAF=∠MBF=45°，

∴∠CMN=∠BMF=45°，

∵AO=BO，DE⊥AB，

∴∠AOF=∠BOF=，

∵∠N=15°，

∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，

∵∠ACB=．

∴∠AOF=∠ACB=60°．

∵DE=8，

∴AO=4．

在Rt△AOF中，由，得AF=，

在Rt△AMF中，AM=BM==．

在Rt△ACM中，由，得CM=，

∴BC=CM+BM=+．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題