如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切於點D，CE⊥AD，交AD的延長線於點E．（1）求...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切於點D，CE⊥AD，交AD的延長線於點E．

（1）求*：∠BDC=∠A；

（2）若CE=2，DE=2，求AD的長．

（3）在（2）的條件下，求弧BD的長．

【回答】

【考點】MC：切線的*質；MN：弧長的計算．

【分析】（1）連接OD，由CD是⊙O切線，得到∠ODC=90°，根據AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，等量代換得到∠BDC=∠ADO，根據等腰三角形的*質得到∠ADO=∠A，即可得到結論；

（2）根據垂直的定義得到∠E=∠ADB=90°，根據平行線的*質得到∠DCE=∠BDC，根據相似三角形的*質得到=，解方程即可得到結論；

（3）利用三角函數求得∠DCE的度數，根據△AEC∽△CED，求得∠A的度數，則∠DIB即可求得，然後在直角△ABD中求得BD，從而求得半徑，然後利用弧長公式求解．

【解答】（1）*：連接OD，

∵CD是⊙O切線，

∴∠ODC=90°，

即∠ODB+∠BDC=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

即∠ODB+∠ADO=90°，

∴∠BDC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠A，

∴∠BDC=∠A；

（2）∵CE⊥AE，

∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，

∴∠DCE=∠BDC，

∵∠BDC=∠A，

∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E，

∴△AEC∽△CED，

∴=，

∴EC2=DE•AE，

∴（2）2=2（2+AD），

∴AD=4．

（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE===，

∴∠DCE=30°，

又∵△AEC∽△CED，

∴∠A=∠DCE=30°，

∴∠DOB=2∠A=60°，BD=AD•tanA=4×=，

∴△OBD是等邊三角形，則OD=BD=，

則弧BD的長是=．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題