如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點O作OD⊥AB，交BC的延長線於D，交AC於點E，F是DE的中點，...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點O作OD⊥AB，交BC的延長線於D，交AC於點E，F是DE的中點，連接CF．

（1）求*：CF是⊙O的切線．

（2）若∠A＝22.5°，求*：AC＝DC．

【回答】

（1）*見解析；

（2）*見解析.

【分析】

（1）先根據圓周角定理得出∠ACB＝∠ACD＝90°，再根據直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半得出CF＝EF＝DF，再根據對頂角相等和等腰三角形兩底角相等得出∠AEO＝∠FCE，再由∠OCA＋∠FCE＝∠OAC＋∠AEO＝90°，即可知CF是⊙O的切線；

（2）連接AD，由OD⊥AB且AO=BO可知OD是垂直平分線，即可得到DO是角平分線，∠BAC+∠B=∠ODB+∠B=90°，可得∠ODB=∠BAC=22.5°，可得∠ADB=45°，求得△ACD是等腰直角三角形，所以AC=DC.

【詳解】

（1）*：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，

∵點F是ED的中點，

∴CF＝EF＝DF，

∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵OD⊥AB，

∴∠OAC＋∠AEO＝90°，

∴∠OCA＋∠FCE＝90°，即OC⊥FC，

∴CF與⊙O相切；

（2）*：連接AD

∵OD⊥AB，AC⊥BD，

∴∠AOE＝∠ACD＝90°，

∵∠AEO＝∠DEC，

∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，

∵AO＝BO，

∴AD＝BD，

∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，

∴∠ADB＝45°，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝CD．

【點睛】

本題主要考查圓周角定理、直角三角形斜邊中線定理、對頂角和等腰三角形*質、切線的判定、垂直平分線的判定和*質.第（2）部分連接AD，通過角度計算*△ACD是直角等腰三角形是關鍵.

知識點：課題學習 最短路徑問題

題型：解答題