如圖,AB是⊙O的直徑,C、G是⊙O上兩點,且AC=CG,過點C的直線CD⊥BG於點D,交BA的延長線於點E,...
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問題詳情:
如圖,AB是⊙O的直徑,C、G是⊙O上兩點,且AC=CG,過點C的直線CD⊥BG於點D,交BA的延長線於點E,連接BC,交OD於點F.
(1)求*:CD是⊙O的切線.
(2)若,求∠E的度數.
(3)連接AD,在(2)的條件下,若CD=,求AD的長.
【回答】
【考點】MR:圓的綜合題.
【分析】(1)如圖1,連接OC,AC,CG,由圓周角定理得到∠ABC=∠CBG,根據同圓的半徑相等得到OC=OB,於是得到∠OCB=∠OBC,等量代換得到∠OCB=∠CBG,根據平行線的判定得到OC∥BG,即可得到結論;
(2)由OC∥BD,得到△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD,得到,,根據直角三角形的*質即可得到結論;
(3)如圖2,過A作AH⊥DE於H,解直角三角形得到BD=3,DE=3,BE=6,在Rt△DAH中,AD===.
【解答】(1)*:如圖1,連接OC,AC,CG,
∵AC=CG,
∴,
∴∠ABC=∠CBG,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OCB=∠CBG,
∴OC∥BG,
∵CD⊥BG,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切線;
(2)解:∵OC∥BD,
∴△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD,
∴,
∴,
∵OA=OB,
∴AE=OA=OB,
∴OC=OE,
∵∠ECO=90°,
∴∠E=30°;
(3)解:如圖2,過A作AH⊥DE於H,
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°,
∴∠CBD=EBD=30°,
∵CD=,
∴BD=3,DE=3,BE=6,
∴AE=BE=2,
∴AH=1,
∴EH=,
∴DH=2,
在Rt△DAH中,AD===.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:綜合題