如圖，△ABC內接於⊙O，AB為直徑，作OD⊥AB交AC於點D，延長BC，OD交於點F，過點C作⊙O的切線CE...
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問題詳情：
如圖，△ABC內接於⊙O，AB為直徑，作OD⊥AB交AC於點D，延長BC，OD交於點F，過點C作⊙O的切線CE，交OF於點E．
（1）求*：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的長．
【回答】
【分析】（1）連接OC，由切線的*質可*得∠ACE+∠A＝90°，又∠CDE+∠A＝90°，可得∠CDE＝∠ACE，則結論得*；
（2）先根據勾股定理求出OE，OD，AD的長，*Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例線段即可求出AC的長．
【解答】（1）*：連接OC，
∵CE與⊙O相切，為C是⊙O的半徑，
∴OC⊥CE，
∴∠OCA+∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACE+∠A＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODA+∠A＝90°，
∵∠ODA＝∠CDE，
∴∠CDE+∠A＝90°，
∴∠CDE＝∠ACE，
∴EC＝ED；
（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠CDE+∠F＝90°，
∴∠ECF＝∠F，
∴EC＝EF，
∵EF＝3，
∴EC＝DE＝3，
∴OE＝
＝5，
∴OD＝OE﹣DE＝2，
在Rt△OAD中，AD＝
＝2
，
在Rt△AOD和Rt△ACB中，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴
，
即
，
∴AC＝
．
【點評】本題考查了切線的*質：圓的切線垂直於經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關係．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與*質．
知識點：各地中考
題型：解答題
