如圖,已知AB為⊙O的直徑,F為⊙O上一點,AC平分∠BAF且交⊙O於點C,過點C作CD⊥AF於點D,延長AB...
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問題詳情:
如圖,已知AB為⊙O的直徑,F為⊙O上一點,AC平分∠BAF且交⊙O於點C,過點C作CD⊥AF於點D,延長AB、DC交於點E,連接BC、CF.
(1)求*:CD是⊙O的切線;
(2)若AD=6,DE=8,求BE的長;
(3)求*:AF+2DF=AB.
【回答】
(1)*:如解圖,連接OC.
第11題解圖
∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD,
又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠CAD,
∴CO∥AD.
又CD⊥AD,
∴CD⊥OC,
又∵OC是⊙O的半徑,
∴CD是⊙O的切線;
(2)解:在Rt△ADE中,∵AD=6,DE=8,
根據勾股定理得:AE=10,
∵CO∥AD,
∴△EOC∽△EAD,
∴.
設⊙O的半徑為r,∴OE=10-r.
∴,
∴r=,
∴BE=10-2r=;
(3)*:如解圖,過點C作CG⊥AB於點G.
∵∠OAC=∠CAD,AD⊥CD,
∴CG=CD,
在Rt△AGC和Rt△ADC中,
∵CG=CD,AC=AC,
∴Rt△AGC≌Rt△ADC(HL),
∴AG=AD.
又∵∠BAC=∠CAD,
∴BC=CF,
在Rt△CGB和Rt△CDF中,
∵BC=FC,CG=CD,
∴Rt△CGB≌Rt△CDF(HL),
∴GB=DF.
∵AG+GB=AB,∴AD+DF=AB,即AF+2DF=AB.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:綜合題