如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同於A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC，過點C作CE⊥DB交DB的延長...

來源：國語幫 1.88W

問題詳情：

如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同於A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC，過點C作CE⊥DB交DB的延長線於點E，直線AB與CE相交於點F．

（1）求*：CF為⊙O的切線；

（2）填空：當∠CAB的度數為________時，四邊形ACFD是菱形．

【回答】

（1）解：*連結OC，如圖， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA， ∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A， ∵∠ABD=2∠BAC， ∴∠ABD=∠BOC， ∴OC∥BD， ∵CE⊥BD， ∴OC⊥CE， ∴CF為⊙O的切線；（2）30° 【考點】全等三角形的判定與*質，菱形的判定，切線的判定與*質【解析】【解答】（2）當∠CAB的度數為30°時，四邊形ACFD是菱形，理由：∵∠A=30°， ∴∠COF=60°， ∴∠F=30°， ∴∠A=∠F， ∴AC=CF，連接AD， ∵AB是⊙O的直徑， ∴AD⊥BD， ∴AD∥CF， ∴∠DAF=∠F=30°，在△ACB與△ADB中，， ∴△ACB≌△ADB， ∴AD=AC， ∴AD=CF， ∵AD∥CF， ∴四邊形ACFD是菱形．故*為：30°．【分析】*一條直線是圓的切線的添加輔助線的方法：連半徑，*垂直；作垂線，*半徑。（1）連結OC，先*∠ABD=∠BOC，得到OC∥BD，根據CE⊥BD，得出OC⊥CE，即可*得結論。（2）當∠CAB的度數為30°時，四邊形ACFD是菱形。根據已知易*AC=CF，再*△ACB≌△ADB，得出AD=AC，即可得到AD=CF，AD∥CF，根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。即可得出結論。