如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，點E在AB的延長線上，∠AED=∠ABC（1）求*...
來源：國語幫 1.33W
問題詳情：
如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，點E在AB的延長線上，∠AED=∠ABC
（1）求*：DE與⊙O相切；
（2）若BF=2，DF=
，求⊙O的半徑．
【回答】
【考點】切線的判定．
【分析】（1）連接OD，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代換得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到結論；
（2）連接BD，過D作DH⊥BF於H，由弦且角動量得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF與△FDB都是等腰三角形，根據等腰直角三角形的*質得到FH=BH=
BF=1，則FH=1，根據勾股定理得到HD=
=3，然後根據勾股定理列方程即可得到結論．
【解答】（1）*：連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，
∴∠BOD=∠A，
∵∠AED=∠ABC，
∴∠BOD+∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切；
（2）解：連接BD，過D作DH⊥BF於H，
∵DE與⊙O相切，
∴∠BDE=∠BCD，
∵∠AED=∠ABC，
∴∠AFC=∠DBF，
∵∠AFC=∠DFB，
∴△ACF與△FDB都是等腰三角形，
∴FH=BH=
BF=1，則FH=1
，∴HD=
=3，
在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，
即（OD﹣1）2+32=OD2，
∴OD=5，
∴⊙O的半徑是5．
【點評】本題考查了切線的判定和*質，等腰三角形的判定，直角三角形的*質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
知識點：各地中考
題型：解答題
