如圖,⊙O的直徑AB=4,點C為⊙O上的一個動點,連接OC,過點A作⊙O的切線,與BC的延長線交於點D,點E為...
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問題詳情:
如圖,⊙O的直徑AB=4,點C為⊙O上的一個動點,連接OC,過點A作⊙O的切線,與BC的延長線交於點D,點E為AD的中點,連接CE.
(1)求*:CE是⊙O的切線;
(2)填空:①當CE= 時,四邊形AOCE為正方形;
②當CE= 時,△CDE為等邊三角形.
【回答】
(1)*:連接AC、OE,如圖(1),
∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∴△ACD為直角三角形,
又∵E為AD的中點,
∴EA=EC,
在△OCE和△OAE中,
,
∴△OCE≌△OAE(SSS),
∴∠OCE=∠OAE=90°,
∴CE⊥OC,
∴CE是⊙O的切線;
(2)解:①C在線段BD的中點時,四邊形AOCE為正方形.理由如下:
當C為邊BD的中點,而E為AD的中點,
∴CE為△BAD的中位線,
∴CE∥AB,CE=AB=OA,
∴四邊形OAEC為平行四邊形,
∵∠OAE=90°,
∴平行四邊形OCEA是矩形,
又∵OA=OC,
∴矩形OCEA是正方形,
∴CE=OA=2,
故*為:2;
②連接AC,如圖(2),
∵△CDE為等邊三角形,
∴∠D=60°,∠ABD=30°,CE=CD,
在Rt△ABC中,AC=AB=2,
在Rt△ACD中,∵tan∠D=,
∴CD===,
∴CE=,
故*為:.
【點評】本題考查了圓的綜合題:考查了圓周角定理、全等三角形的判定與*質、切線的判定定理、平行四邊形的判定、正方形的判定、等邊三角形的*質、三角函數等知識;本題綜合*強,有一定難度.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題