如圖，AB是⊙O的直徑，點P是BA延長線上一點，過點P作⊙O的切線PC，切點是C，過點C作弦CD⊥AB於E，連...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，點P是BA延長線上一點，過點P作⊙O的切線PC，切點是C，過點C作弦CD⊥AB於E，連接CO，CB．

（1）求*：PD是⊙O的切線；

（2）若AB＝10，tanB＝，求PA的長；

（3）試探究線段AB，OE，OP之間的數量關係，並説明理由．

【回答】

解：（1）*：連接OD，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，

∵OA⊥CD

∴CE＝DE

∴PC＝PD

∴∠PDC＝∠PCD

∵OC＝OD

∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，

∴PD是⊙O的切線．

（2）如圖2，連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴tanB＝＝

設AC＝m，BC＝2m，則由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，

AC＝2，BC＝4，

∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，

∴CE＝4，BE＝8，AE＝2

在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，

∴CE＝＝＝4，

∵

∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，

∴OP＝，PA＝OP﹣OA＝﹣5＝．

（3）AB2＝4OE•OP

如圖2，∵PC切⊙O於C，

∴∠OCP＝∠OEC＝90°，

∴△OCE∽△OPC

∴，即OC2＝OE•OP

∵OC＝AB

∴

即AB2＝4OE•OP．

知識點：各地中考

題型：解答題