如圖，CD是⊙O的直徑，且CD＝2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA、PB，切點分別為A、...

問題詳情：

如圖，CD是⊙O的直徑，且CD＝2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA、PB，切點分別為A、B．

（1）連接AC，若∠APO＝30°，試*△ACP是等腰三角形；

（2）填空：

①當的長為　   　cm時，四邊形AOBD是菱形；

②當DP＝　   　cm時，四邊形AOBP是正方形．

【回答】

解：（1）如圖1，連接AO，

∵PA是⊙O的切線，

∴∠PAO＝90°，

∵∠APO＝30°，

∴∠AOP＝60°，

∵OA＝OC，

∴∠C＝∠CAO＝30°，

∴∠C＝∠APO，

∴△ACP是等腰三角形；

（2）如圖2，①∵四邊形AOBD是菱形，

∴AO＝AD，

∵AO＝OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠AOD＝60°，

則∠AOB＝120°，

∴的長為：＝或＝

故*是：或；

②當四邊形AOBP為正方形時，則有PA＝AO＝1cm，

∵PA為⊙O的切線，

∴PA2＝PD•PC，且CD＝2cm，

∴1＝PD（PD+2），整理可得PD2+2PD﹣1＝0，

解得PD＝﹣1或PD＝﹣﹣1（捨去），

∴PD＝﹣1（cm），

∴當PD＝（﹣1）cm時，四邊形AOBP為正方形；

故*為：（﹣1）．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題