如圖,AB、AC分別是⊙O的直徑和絃,OD⊥AC於點D.過點A作⊙O的切線與OD的延長線交於點P,PC、AB的...
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問題詳情:
如圖,AB、AC分別是⊙O的直徑和絃,OD⊥AC於點D.過點A作⊙O的切線與 OD的延長線交於點P,PC、AB的延長線交於點F. (1)求*:PC是⊙O的切線; (2)若∠ABC=60°,AB=10,求線段CF的長.
【回答】
解:(1)連接OC, ∵OD⊥AC,OD經過圓心O, ∴AD=CD, ∴PA=PC, 在△OAP和△OCP中, ∵, ∴△OAP≌△OCP(SSS), ∴∠OCP=∠OAP ∵PA是⊙O的切線, ∴∠OAP=90°. ∴∠OCP=90°, 即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切線. (2)∵OB=OC,∠OBC=60°, ∴△OBC是等邊三角形, ∴∠COB=60°, ∵AB=10, ∴OC=5, 由(1)知∠OCF=90°, ∴CF=OCtan∠COB=5. 【解析】
(1)連接OC,可以*得△OAP≌△OCP,利用全等三角形的對應角相等,以及切線的*質定理可以得到:∠OCP=90°,即OC⊥PC,即可*得; (2)先*△OBC是等邊三角形得∠COB=60°,再由(1)中所*切線可得∠OCF=90°,結合半徑OC=5可得*. 本題考查了切線的*質定理以及判定定理,以及直角三角形三角函數的應用,*圓的切線的問題常用的思路是根據切線的判定定理轉化成*垂直的問題.
知識點:各地中考
題型:解答題