如圖，CD是⊙O的直徑，且CD=2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA，PB，切點分別為點A...

問題詳情：

如圖，CD是⊙O的直徑，且CD=2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA，PB，切點分別為點A，B．

（1）連接AC，若∠APO=30°，試*△ACP是等腰三角形；

（2）填空：

①當DP=　1　cm時，四邊形AOBD是菱形；

②當DP=　﹣1　cm時，四邊形AOBP是正方形．

【回答】

【分析】（1）利用切線的*質可得OC⊥PC．利用同弧所對的圓周角等於圓心角的一半，求得∠ACP=30°，從而求得．

（2）①要使四邊形AOBD是菱形，則OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD．

②要使四邊形AOBP是正方形，則必須∠AOP=45°，OA=PA=1，則OP=，所以DP=OP﹣1．

【解答】解：（1）連接OA，AC

∵PA是⊙O的切線，

∴OA⊥PA，

在Rt△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°，

∴∠ACP=30°，

∵∠APO=30°

∴∠ACP=∠APO，

∴AC=AP，

∴△ACP是等腰三角形．

（2）

①DP=1，理由如下：

∵四邊形AOBD是菱形，

∴OA=AD=OD，

∴∠AOP=60°，

∴OP=2OA，DP=OD．

∴DP=1，

②DP=，理由如下：

∵四邊形AOBP是正方形，

∴∠AOP=45°，

∵OA=PA=1，OP=，

∴DP=OP﹣1

∴DP=．

【點評】本題考查了切線的*質，圓周角的*質，熟練掌握圓的切線的*質和直角三角形的邊角關係是解題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題