如圖,PA為⊙O的切線,A為切點.過A作OP的垂線AB,垂足為點C,交⊙O於點B.延長BO與⊙O交於點D,與P...
問題詳情:
如圖,PA為⊙O的切線,A為切點.過A作OP的垂線AB,垂足為點C,交⊙O於點B.延長BO與⊙O交於點D,與PA的延長線交於點E.
(1)求*:PB為⊙O的切線;(4分)
(2)若OC=1,AB=2,求圖中*影部分的面積S;(3分)
(3)若,求sinE的值.(3分)
【回答】
解:(1)*:連接OA
∵PA為⊙O的切線,∴∠PAO=90°,
∵OA=OB,OP⊥AB於C,
∴BC=CA,PB=PA,∴△PBO≌△PAO
∴∠PBO=∠PAO=90°,∴PB為⊙O的切線.
(2) ∵OP⊥AB,∴BC=AC=,
在Rt△OBC中,由tan∠BOC=知,∠BOC=60°,則∠BOA=120°,OB=2,
BP=OB=2
∴S=S四邊形OBPA﹣S扇形OBA==
(3) 解法1:連接AD,∵BD是直徑,∠BAD=90°
由(1)知∠BCO=90°,∴AD∥OP,
∴△ADE∽△POE,∴EA/EP=AD/OP
由AD∥OC得AD=2OC,
∵tan∠ABE=1/2 , ∴OC/BC=1/2,
設OC=t,則BC=2t,AD=2t,
由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,OP=5t
∴EA/EP=AD/OP=2/5,…………………(9分)
可設EA=2m,EP=5m,則PA=3m
∵PA=PB∴PB=3m∴sinE=PB/EP=3/5.
解法2:連接AD,則∠BAD=90°,
由(1)知∠BCO=90°,∵由AD∥OC,∴AD=2OC
∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,設OC=t,BC=2t,AB=4t
由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,∴PA=PB=2t
過A作AF⊥PB於F,則AF·PB=AB·PC∴AF=t,
由勾股定理得PF=t,
∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5.
知識點:相似三角形
題型:解答題