如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交於...
來源：國語幫 2.59W
問題詳情：
如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交於點P，弦CE平分∠ACB，交AB於點F，連接BE．
（1）求*：AC平分∠DAB；
（2）求*：△PCF是等腰三角形；
（3）若AF＝6，EF＝2
，求⊙O 的半徑長．
【回答】
（1）*：∵PD為⊙O的切線，
∴OC⊥DP，
∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）*：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝90°，
∴∠OFE+∠OEF＝90°，
而∠OFE＝∠CFP，
∴∠CFP+∠OEF＝90°，
∵OC⊥PD，
∴∠OCP＝90°，即∠OCF+∠PCF＝90°，
而∠OCF＝∠OEF，
∴∠PCF＝∠CFP，
∴△PCF是等腰三角形；
（3）解：連結OE．
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，
∴∠BOE＝90°，即OE⊥AB，
設⊙O 的半徑為r，則OF＝6﹣r，
在Rt△EOF中，∵OE2+OF2＝EF2，
∴r2+（6﹣r）2＝（2
）2，
解得，r1＝4，r2＝2，
當r1＝4時，OF＝6﹣r＝2（符合題意），
當r2＝2時，OF＝6﹣r＝4（不合題意，捨去），
∴⊙O的半徑r＝4．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
