如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．（1）求*：...

問題詳情：

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．

（1）求*：DC為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長．

【回答】

【考點】切線的判定；相似三角形的判定與*質．

【分析】（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然後利用角平分線的*質可以*∠DAC=∠OCA，接着利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然後就得到OC⊥CD，由此即可*直線CD與⊙O相切於C點；

（2）連接BC，根據圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然後利用相似三角形的*質即可解決問題．

【解答】（1）*：連接OC

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠OAC

∴∠DAC=∠OCA

∴OC∥AD

∵AD⊥CD∴OC⊥CD

∴直線CD與⊙O相切於點C；

（2）解：連接BC，則∠ACB=90°．

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2=AD•AB，

∵⊙O的半徑為3，AD=4，

∴AB=6，

∴AC=2．

【點評】此題主要考查了切線的*質與判定，解題時 首先利用切線的判定*切線，然後利用切線的想這已知條件*三角形相似即可解決問題．

知識點：相似三角形

題型：綜合題