．如圖，在⊙O中，直徑CD垂直於不過圓心O的弦AB，垂足為點N，連接AC，BC，點E在AB上，且AE＝CE．（...

問題詳情：

．如圖，在⊙O中，直徑CD垂直於不過圓心O的弦AB，垂足為點N，連接AC，BC，點E在AB上，且AE＝CE．

（1）求*：∠ABC＝∠ACE；

（2）過點B作⊙O的切線交EC的延長線於點P，*PB＝PE；

（3）在第（2）問的基礎上，設⊙O半徑為2，若點N為OC中點，點Q在⊙O上，求線段PQ的最大值．

【回答】

解：（1）*：∵直徑CD垂直於不過圓心O的弦AB，垂足為點N，

∴，

∴∠CAE＝∠ABC，

∵AE＝CE，

∴∠CAE＝∠ACE，

∴∠ABC＝∠ACE；

（2）如圖，連接OB，

∵過點B作⊙O的切線交EC的延長線於點P，

∴∠OBP＝90°，

設∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，

則∠PEB＝2x，

∵OB＝OC，AB⊥CD，

∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，

∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，

∴∠OBE＝90°﹣2x，

∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，

∴∠PEB＝∠PBE，

∴PB＝PE；

（3）如圖，連接OP，

∵點N為OC中點，AB⊥CD，

∴AB是CD的垂直平分線，

∴BC＝OB＝OC，

∴△OBC為等邊三角形，

∵⊙O半徑為2，

∴CN＝，

∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，

∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，

∴△PBE為等邊三角形，BN＝3，NE＝1，

∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，

∴PO＝，

∴PQ的最大值為PO+＝．

知識點：弧長和扇形面積

題型：解答題