如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交於點P，連接EF、EO，若DE＝...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交於點P，連接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．

（1）求⊙O的半徑；

（2）求圖中*影部分的面積．

【回答】

（1）；（2）π﹣．

【分析】

（1）根據垂徑定理得CE的長，再根據已知DE平分AO得CO＝AO＝OE，根據勾股定理列方程求解．

（2）先求出扇形的圓心角，再根據扇形面積和三角形的面積公式計算即可．

【詳解】

解：（1）連接OF，

∵直徑AB⊥DE，

∴CE＝DE＝1．

∵DE平分AO，

∴CO＝AO＝OE．

設CO＝x，則OE＝2x．

由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．

x＝．

∴OE＝2x＝．

即⊙O的半徑為．

（2）在Rt△DCP中，

∵∠DPC＝45°，

∴∠D＝90°﹣45°＝45°．

∴∠EOF＝2∠D＝90°．

∴S扇形OEF＝＝π．

∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝

SRt△OEF＝＝．

∴S*影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF＝π﹣．

【點睛】

本題考查了垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧．也考查了扇形的面積公式、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關係．

知識點：圓的有關*質

題型：解答題