如圖，△BCD內接於⊙O，直徑AB經過弦CD的中點M，AE交BC的延長線於點E，連接AC，∠EAC＝∠ABD＝...

問題詳情：

如圖，△BCD內接於⊙O，直徑AB經過弦CD的中點M，AE交BC的延長線於點E，連接AC，∠EAC＝∠ABD＝30°．

（1）求*：△BCD是等邊三角形；

（2）求*：AE是⊙O的切線；

（3）若CE＝2，求⊙O的半徑．

【回答】

*：（1）∵AB是⊙O的直徑，M是CD的中點，

∴AB⊥CD，

∴BD＝BC，

∴∠ABD＝∠ABC＝30°，即∠CBD＝60°，

∴△BCD是等邊三角形；

（2）∵∠EAC＝∠ABD，∠ABD＝∠ACD，

∴∠EAC＝∠ACD，

∴AE∥CD，

由（1）知AB⊥CD，

∴AE⊥AB，

∵點A在⊙O上，

∴∴AE是⊙O的切線；

（3）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝90°，

∵∠EAC＝30°，

∴AE＝2CE＝4，

在Rt△EAB中，∠ABE＝30°，

∴BE＝2AE＝8，

∴AB＝＝＝4，

∴⊙O的半徑為2．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題