如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD⊥CE於點D,AC平分∠DAB.(1) 求*:直線CE是⊙O的...
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問題詳情:
如圖,AB 為⊙O 的直徑,C 為⊙O 上一點,AD⊥CE 於點 D,AC 平分∠DAB.
(1) 求*:直線 CE 是⊙O 的切線;
(2) 若 AB=10,CD=4,求 BC 的長.
【回答】
(1)*見解析;(2)BC=2或4.
【解析】
(1)如圖,連接OC,由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB,然後利用等腰三角形的*質得到∠OCA=∠CAB,接着利用平行線的判定得到AD∥CO,而CD⊥AD,由此得到CD⊥AD,最後利用切線的判定定理即可*CD為⊙O的切線;
(2)*△DAC∽△CAB,根據相似三角形對應邊成比例進行求解即可.
【詳解】
(1)如圖,連接OC
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠CAB,
∴∠OCA=∠DAC,
∴AD∥CO,
∵CD⊥AD,
∴OC⊥CD,
∵OC是⊙O直徑且C在半徑外端,
∴CD為⊙O的切線;
(2)∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∵AD⊥CD,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
∵∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴,
∴BC•AC=DC•AB=4×10=40,
∵BC2+AC2=100,
∴(BC+AC)2=BC2+AC2+2BC•AC=180,(BC-AC)2= BC2+AC2-2BC•AC=20,
∴BC+AC=6,AC﹣BC=2或BC﹣AC=2,
∴BC=2或4.
【點睛】
本題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與*質等,正確添加輔助線,熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:解答題