如圖,已知⊙O的直徑為AB,AC⊥AB於點A,BC與⊙O相交於點D,在AC上取一點E,使得ED=EA.(1)求...
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問題詳情:
如圖,已知⊙O的直徑為AB,AC⊥AB於點A,BC與⊙O相交於點D,在AC上取一點E,使得ED=EA.
(1)求*:ED是⊙O的切線.
(2)當OA=3,AE=4時,求BC的長度.
【回答】
【考點】切線的判定;垂徑定理.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)如圖,連接OD.通過*△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°,易*得結論;
(2)利用圓周角定理和垂徑定理推知OE∥BC,所以根據平行線分線段成比例求得BC的長度即可.
【解答】(1)*:如圖,連接OD.
∵AC⊥AB,
∴∠BAC=90°,即∠OAE=90°.
在△AOE與△DOE中,
,
∴△AOE≌△DOE(SSS),
∴∠OAE=∠ODE=90°,即OD⊥ED.
又∵OD是⊙O的半徑,
∴ED是⊙O的切線;
(2)解:如圖,在△OAE中,∠OAE=90°,OA=3,AE=4,
∴由勾股定理易求OE=5.
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵由(1)知,△AOE≌△DOE,
∴∠AEO=∠DEO,
又∵AE=DE,
∴OE⊥AD,
∴OE∥BC,
∴==.
BC=2OE=10,即BC的長度是10.
【點評】本題考查了切線的判定與*質.解答(2)題時,也可以根據三角形中位線定理來求線段BC的長度.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題