已知，四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，DE＝EC，以AE為直徑的⊙O與邊CD相切於點D，點B在⊙O上，...
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問題詳情：
已知，四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，DE＝EC，以AE為直徑的⊙O與邊CD相切於點D，點B在⊙O上，連接OB．
（1）求*：DE＝OE；
（2）若CD∥AB，求*：BC是⊙O的切線；
（3）在（2）的條件下，求*：四邊形ABCD是菱形．
【回答】
【解答】解：（1）如圖，連接OD，
∵CD是⊙O的切線，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°，
∵DE＝EC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠COD，
∴DE＝OE；
（2）∵OD＝OE，
∴OD＝DE＝OE，
∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，
∴∠BOC＝∠DOC＝60°，
在△CDO與△CBO中，
，
∴△CDO≌△CBO（SAS），
∴∠CBO＝∠CDO＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，
∴OA＝OB＝DE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，
∴△ABO≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAE＝
∠DOE＝30°，
∴∠1＝∠DAE，
∴CD＝AD，
∴▱ABCD是菱形．
【點評】此題主要考查了切線的*質，同角的餘角相等，等腰三角形的*質，平行四邊形的判定和*質，菱形的判定，判斷出△ABO≌△CDE是解本題的關鍵．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
