如圖,四邊形ABCD為矩形,E為BC邊中點,以AD為直徑的⊙O與AE交於點F.(1)求*:四邊形AOCE為平行...
問題詳情:
如圖,四邊形ABCD為矩形,E為BC邊中點,以AD為直徑的⊙O與AE交於點F.
(1)求*:四邊形AOCE為平行四邊形;
(2)求*:CF與⊙O相切;
(3)若F為AE的中點,求∠ADF的大小.
【回答】
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)根據矩形的*質得到AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°,由E為BC邊中點,AO=DO,得到AO=AD,EC=BC,等量代換得到AO=EC,AO∥EC,即可得到結論;
(2)利用平行四邊形的判定方法得出四邊形OAEC是平行四邊形,進而得出△ODC≌△OFC(SAS),求出OF⊥CF,進而得出*;
(3)如圖,連接DE,由AD是直徑,得到∠AFD=90°,根據點F為AE的中點,得到DF為AE的垂直平分線,根據線段垂直平分線的*質得到DE=AD,推出△ABE≌△DCE,根據全等三角形的*質得到AE=DE,推出三角形ADE為等邊三角形,即可得到結論.
【解答】(1)*:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°,
∵E為BC邊中點,AO=DO,
∴AO=AD,EC=BC,
∴AO=EC,AO∥EC,
∴四邊形OAEC是平行四邊形;
(2)如圖1,連接OF,
∵四邊形OAEC是平行四邊形
∴AE∥OC,
∴∠DOC=∠OAF,
∠FOC=∠OFA,
∵OA=OF,
∴∠OAF=∠OFA,
∴∠DOC=∠FOC,
在△ODC與△OFC中,,
∴△ODC≌△OFC(SAS),
∴∠OFC=∠ODC=90°,
∴OF⊥CF,
∴CF與⊙O相切;
(3)如圖2,連接DE,
∵AD是直徑,
∴∠AFD=90°,
∵點F為AE的中點,
∴DF為AE的垂直平分線,
∴DE=AD,
在△ABE與R△DCE中,
,
∴△ABE≌△DCE,
∴AE=DE,
∴AE=DE=AD,
∴三角形ADE為等邊三角形,
∴∠DAF=60°,
∴∠ADF=30°.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與*質以及勾股定理和平行四邊形的判定、切線的判定等知識,得出△ODC≌△OFC是解題關鍵.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題