如圖1，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過O點作OF⊥AB交⊙O於點D，交AC於點E，交BC的延長線於點...

問題詳情：

如圖1，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過O點作OF⊥AB交⊙O於點D，交AC於點E，交BC的延長線於點F，點G是EF的中點，連接CG

（1）判斷CG與⊙O的位置關係，並説明理由；

（2）求*：2OB2＝BC•BF；

（3）如圖2，當∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5時，求DE的長．

【回答】

解：（1）CG與⊙O相切，理由如下：

如圖1，連接CE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ACF＝90°，

∵點G是EF的中點，

∴GF＝GE＝GC，

∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵OF⊥AB，

∴∠OAC+∠AEO＝90°，

∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，

∴CG與⊙O相切；

（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，

∴∠OAE＝∠F，

又∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△FBO，

∴＝，即BO•AB＝BC•BF，

∵AB＝2BO，

∴2OB2＝BC•BF；

（3）由（1）知GC＝GE＝GF，

∴∠F＝∠GCF，

∴∠EGC＝2∠F，

又∵∠DCE＝2∠F，

∴∠EGC＝∠DCE，

∵∠DEC＝∠CEG，

∴△ECD∽△EGC，

∴＝，

∵CE＝3，DG＝2.5，

∴＝，

整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，

解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），

故DE＝2．

知識點：相似三角形

題型：綜合題