如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ABC的平分線與AC相交於點D，與⊙O過點A的切線相交於點E．（1）∠...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ABC的平分線與AC相交於點D，與⊙O過點A的切線相交於點E．

（1）∠ACB=　　°，理由是：　　；

（2）猜想△EAD的形狀，並*你的猜想；

（3）若AB=8，AD=6，求BD．

【回答】

【考點】圓的綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）根據AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上利用直徑所對的圓周角是直角即可得到結論；

（2）根據∠ABC的平分線與AC相交於點D，得到∠CBD=∠ABE，再根據AE是⊙O的切線得到∠EAB=90°，從而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代換得到∠AED=∠EDA，從而判定△EAD是等腰三角形．

（3）*得△CDB∽△AEB後設BD=5x，則CB=4x，CD=3x，從而得到CA=CD+DA=3x+6，然後在直角三角形ACB中，利用AC2+BC2=AB2得到（3x+6）2+（4x）2=82解得x後即可求得BD的長．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，

∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）

（2）△EAD是等腰三角形．

*：∵∠ABC的平分線與AC相交於點D，

∴∠CBD=∠ABE

∵AE是⊙O的切線，∴∠EAB=90°

∴∠AEB+∠EBA=90°，

∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，

∵∠CBE=∠ABE，

∴∠AED=∠EDA，

∴AE=AD

∴△EAD是等腰三角形．

（3）解：∵AE=AD，AD=6，

∴AE=AD=6，

∵AB=8，

∴在直角三角形AEB中，EB=10

∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE

∴△CDB∽△AEB，

∴===

∴設CB=4x，CD=3x則BD=5x，

∴CA=CD+DA=3x+6，

在直角三角形ACB中，

AC2+BC2=AB2

即：（3x+6）2+（4x）2=82，

解得：x=﹣2（捨去）或x=

∴BD=5x=

【點評】本題考查了圓的綜合知識，題目中涉及到了圓周角定理、等腰三角形的判定與*質及相似三角形的判定與*質，難度中等偏上．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題