如圖，已知△ABC是⊙O的內接三角形，AB為⊙O的直徑，OD⊥AB於點O，且∠ODC=2∠A．（1）求*：CD...

問題詳情：

如圖，已知△ABC是⊙O的內接三角形，AB為⊙O的直徑，OD⊥AB於點O，且∠ODC=2∠A．

（1）求*：CD是⊙O的切線；

（2）若AB=6，tan∠A=，求CD的長．

【回答】

【解答】解：（1）*：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠BOC=2∠A，

又∵∠ODC=2∠A，

∴∠ODC=∠BOC，

∵OD⊥AB，即∠BOC+∠COD=90°，

∴∠ODC+∠COD=90°，

∴∠OCD=90°，

即CD⊥OC，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）如圖，過點C作CH⊥AB於點H，

∵AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，

∴∠ACB=90°，

又∵∠CBH=∠ABC，

∴∠BCH=∠A，

在Rt△ABC中，AB=6，tan∠A==，

設BC=x，則AC=3x，由勾股定理得：x2+（3x）2=62，

解得：x2=，

即BC2=，

又在Rt△BCH中，tan∠BCH==，

BH2+CH2=BC2，

即BH2+（3BH）2=，

解得：BH=CH=，

∵OB=OC=3，

∴OH=，

又∵Rt△DOC∽Rt△OCH，

∴=，

則CD==3×÷=4．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題