如圖，C是⊙O上一點，點P在直徑AB的延長線上，⊙O的半徑為3，PB=2，PC=4．（1）求*：PC是⊙O的切...

問題詳情：

如圖，C是⊙O上一點，點P在直徑AB的延長線上，⊙O的半徑為3，PB=2，PC=4．

（1）求*：PC是⊙O的切線．

（2）求tan∠CAB的值．

【回答】

（1）見解析；（2）tan∠CAB=.

【分析】

（1）可以*OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切線；

（2）AB是直徑，得∠ACB=90°，通過角的關係可以*△PBC∽△PCA，進而，得出tan∠ACB=．

【詳解】

（1）如圖，連接OC、BC，

∵⊙O的半徑為3，PB=2,

∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5,

∵PC=4,

∴OC2+PC2=OP2，

∴△OCP是直角三角形，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線．

（2）∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°.

∵OC⊥PC，

∴∠BCP+∠OCB=90°，

∴∠BCP=∠ACO.

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠A=∠BCP.

在△PBC和△PCA中：

∠BCP=∠A，∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCA，

∴===

∴tan∠CAB==

【點睛】

該題考查圓的相關知識和勾股定理逆定理、三角函數等內容，能*圖中相似三角形是解決問題的關鍵．

知識點：相似三角形

題型：解答題