如圖，是⊙O的直徑，E，C是上兩點，且，連接，，過點C作交的延長線於點D．（1）判定直線與⊙O的位置關係，並説...
問題詳情：
如圖，
是⊙O的直徑，E，C是
上兩點，且
，連接
，
，過點C作
交
的延長線於點D．
（1）判定直線
與⊙O的位置關係，並説明理由；
（2）若
，
，求圖中*影部分的面積．
【回答】
（1）直線DC與⊙O相切，理由見解析（2）
-
【解析】
（1）連接OC，如圖，由圓周角的的定理推論得到∠EAC＝∠OAC，加上∠ACO＝∠OAC，則∠ACO＝∠DAC，於是可判斷OC∥AD，則根據平行線的*質得到OC⊥CD，然後根據直線與圓的位置關係的判定方法可判斷DC是⊙O的切線； （2）連接OE、BC，作CH⊥AB於H，如圖，先利用角平分線的*質得到CH＝CD＝
，求出△ACH的面積，再根據三角形全等的判定和*質得出△ADC的面積=△ACHD的面積，再利用S*影=S梯形OCDE-S扇形OCE=S△ACD-S扇形OCE= S△ACH-S扇形OCE，即可得出*．
【詳解】
*：（1）直線DC與⊙O相切． 理由如下：連接OC，如圖，
∵
∴∠EAC＝∠OAC
∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠ACO＝∠DAC， ∴OC∥AD， ∵CD⊥AE， ∴OC⊥CD， ∴DC是⊙O的切線； （2）連接OC、OE、CB，過C作CH⊥AB於H，
∵CH⊥AB，CD⊥AE
∴∠ADC=∠AHC，
∵∠EAC＝∠OAC，AC=AC
∴△ADC≌△AHC
∴CH=
，AH=AD，
∵∠CAH+∠ACH=∠BCH+∠ACH=90°
∴∠CAH=∠BCH，
又∵∠CHA=∠BHC，
∴△CAH∽△BCH
∴
∴
∴AH=3或1（捨去1）
∴BH= 1
∴S△ACH=
在Rt△CHB中，BH=1，HC=
∴∠BCH=30°=∠CAB
∴∠COB=∠EOC=60°
∴S*影=S梯形OCDE-S扇形OCE=S△ACD-S扇形OCE= S△ACH-S扇形OCE=
-
=
-
【點睛】
本題考查了圓的切線的判定，圓周角定理、全等三角形的判定和*質、相似三角形的判定和*質、平行線的判定和*質、扇形的面積公式及三角形的面積公式，正確作出輔助線是解題的關鍵，求*影部分面積時要注意轉化思想的應用．
知識點：相似三角形
題型：解答題
