如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB於點E，連接EO並延長交BC的延長線於點D，點F為BC的中點...

問題詳情：

如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB於點E，連接EO並延長交BC的延長線於點D，點F為BC的中點，連接EF和AD．

（1）求*：EF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，∠EAC=60°，求AD的長．

【回答】

【考點】切線的判定．

【分析】（1）連接FO，由F為BC的中點，AO=CO，得到OF∥AB，由於AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據OF∥AB，得出OF⊥CE，於是得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結論．

（2）*出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的*質即可得到結果．

【解答】（1）*：連接CE，如圖所示：

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠AEC=90°．

∴∠BEC=90°．

∵點F為BC的中點，

∴EF=BF=CF．

∴∠FEC=∠FCE．

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠OCE．

∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，

∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．

∴EF是⊙O的切線．

（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，

∴△AOE是等邊三角形．

∴∠AOE=60°．

∴∠COD=∠AOE=60°．

∵⊙O的半徑為2，

∴OA=OC=2

在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，

∴∠ODC=30°．

∴OD=2OC=4，

∴CD=．

在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=．

∴AD==．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題