如圖，點P為正方形ABCD的對角線AC上的一點，連接BP並延長交CD於點E，交AD的延長線於點F，⊙O是△DE...

問題詳情：

如圖，點P為正方形ABCD的對角線AC上的一點，連接BP並延長交CD於點E，交AD的延長線於點F，⊙O是△DEF的外接圓，連接DP．

（1）求*：DP是⊙O的切線；

（2）若tan∠PDC＝，正方形ABCD的邊長為4，求⊙O的半徑和線段OP的長．

【回答】

（1）連接OD，

∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，

∴△CDP≌△CBP（SAS），

∴∠CDP＝∠CBP，

∵∠BCD＝90°，

∴∠CBP+∠BEC＝90°，

∵OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∠OED＝∠BEC，

∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE，

∴∠CDP+∠ODE＝90°，

∴∠ODP＝90°，

∴DP是⊙O的切線；

（2）∵∠CDP＝∠CBE，

∴tan，

∴CE＝，

∴DE＝2，

∵∠EDF＝90°，

∴EF是⊙O的直徑，

∴∠F+∠DEF＝90°，

∴∠F＝∠CDP，

在Rt△DEF中，，

∴DF＝4，

∴＝＝2，

∴，

∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，

∴△DPE∽△FPD，

∴，

設PE＝x，則PD＝2x，

∴，

解得x＝，

∴OP＝OE+EP＝．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題