已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB於點E，連接EO並延長交BC的延長線於點D，點F為BC的...

問題詳情：

已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB於點E，連接EO並延長交BC的延長線於點D，點F為BC的中點，連接EF．

（1）求*：EF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長．

【回答】

【考點】MD：切線的判定．

【分析】（1）連接FO，由F為BC的中點，AO=CO，得到OF∥AB，由於AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據OF∥AB，得出OF⊥CE，於是得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結論．

（2）*出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的*質即可得到結果．

【解答】*：（1）如圖1，連接FO，

∵F為BC的中點，AO=CO，

∴OF∥AB，

∵AC是⊙O的直徑，

∴CE⊥AE，

∵OF∥AB，

∴OF⊥CE，

∴OF所在直線垂直平分CE，

∴FC=FE，OE=OC，

∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，

∵∠ACB=90°，

即：∠0CE+∠FCE=90°，

∴∠0EC+∠FEC=90°，

即：∠FEO=90°，

∴FE為⊙O的切線；

（2）如圖2，∵⊙O的半徑為3，

∴AO=CO=EO=3，

∵∠EAC=60°，OA=OE，

∴∠EOA=60°，

∴∠COD=∠EOA=60°，

∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，

∴CD=，

∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，

CD=，AC=6，

∴AD=．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題