如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，以AD為直徑作⊙O，連接BO並延長至點E，使得OE=OB...
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問題詳情：
如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，以AD為直徑作⊙O，連接BO並延長至點E，使得OE=OB，交⊙O於點F，連接AE，CE．
（1）求*：AE是⊙O的切線；
（2）求*：四邊形ADCE是矩形；
（3）若BD=
AD=4，求*影部分的面積．
【回答】
【考點】MR：圓的綜合題．
【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一的*質，得出∠ODB=90°，從而得出△BOD≌△EOA，得出∠OAE=∠ODB=90°，即可；
（2）利用（1）△BOD≌△EOA和三角形的中線得出結論；
（3）先判斷出AE=OA=4，*影部分面積用三角形OAE的面積減去扇形OAF的面積即可．
【解答】解：（1）*：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，
，
∴△BOD≌△EOA，
∴∠OAE=∠ODB=90°，
∵點A在圓上，
∴AE是⊙O的切線；
（2）由（1）知，△BOD≌△EOA，
∴BD=AE，
∵AD是BC邊上的中線，
∴CD=BD，
∴AE=CD，
∵∠OAE=∠ODB=90°，
∴AE∥BC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形
∵∠OAE=90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形；
（3）∵∠ODB=90°，BD=OD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOE=45°
∵∠OAE=90°，
∴AE=OA=
AD=4
∴S△OAE=
×OA×AE=
×4×4=8，
S扇形OAF=π×42×
=2π，
∴S*影部分=S△OAE﹣S扇形OAF=8﹣2π．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：綜合題
