如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC於點D,E,點F在AC的延長線上,且∠BAC...
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問題詳情:
如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC於點D,E,點F在AC的延長線上,且∠BAC=2∠CBF. (1)求*:BF是⊙O的切線; (2)若⊙O的直徑為3,sin∠CBF=,求BC和BF的長.
【回答】
(1)*:連接AE, ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠AEB=90°, ∴∠1+∠2=90°. ∵AB=AC, ∴2∠1=∠CAB. ∵∠BAC=2∠CBF, ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB是⊙O的直徑, ∴直線BF是⊙O的切線; (2)解:過點C作CH⊥BF於H. ∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF, ∴sin∠1=, ∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=3, ∴BE=AB•sin∠1=3×=, ∵AB=AC,∠AEB=90°, ∴BC=2BE=2, ∵sin∠CBF==, ∴CH=2, ∵CH∥AB, ∴=,即=, ∴CF=6, ∴AF=AC+CF=9, ∴BF==6. 【解析】
(1)連接AE,利用直徑所對的圓周角是直角,從而判定直角三角形,利用直角三角形兩鋭角相等得到直角,從而*∠ABF=90°. (2)解直角三角形即可得到結論. 本題考查了圓的綜合題:切線的判定與*質、勾股定理、直角所對的圓周角是直角、解直角三角形等知識點.
知識點:各地中考
題型:解答題