如圖，△ABC內接於⊙O，BC為直徑，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交於D和E，P為CB延長線上一點，PB...
來源：國語幫 2.22W
問題詳情：
如圖，△ABC內接於⊙O，BC為直徑，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交於D和E，P為CB延長線上一點，PB＝5，PA＝10，且∠DAP＝∠ADP．
（1）求*：PA與⊙O相切；
（2）求sin∠BAP的值；
（3）求AD•AE的值．
【回答】
【解析】（1）*：連接OA，如圖1所示：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DAP＝∠BAD+∠PAB，∠ADP＝∠CAD+∠C，∠DAP＝∠ADP，
∴∠PAB＝∠C，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝∠PAB，
∵BC為直徑，
∴∠BAC＝90°，即∠OAC+∠OAB＝90°，
∴∠PAB+∠OAB＝90°，即∠OAP＝90°，
∴AP⊥OA，
∴PA與⊙O相切；
（2）解：∵∠P＝∠P，∠PAB＝∠C，
∴△PAB∽△PCA，
∴
∵∠CAB＝90°，
∴
∴sin∠BAP＝sin∠C＝
；
（3）解：連接CE，如圖2所示：
∵PA與⊙O相切，
∴PA2＝PB×PC，即102＝5×PC，
∴PC＝20，
∴BC＝PC﹣PB＝15，
∵
∴
，
∵AE是∠BAC的角平分線，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠E＝∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴
∴
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：綜合題
