如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC於點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=...

問題詳情：

如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC於點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求*：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

【回答】

【解答】（1）*：連接AE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，

∴∠1=∠CAB．

∵∠CBF=∠CAB，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑，

∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：過點C作CG⊥AB於G．

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，

∴sin∠1=，

∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，

∴BE=AB•sin∠1=，

∵AB=AC，∠AEB=90°，

∴BC=2BE=2，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，

∴sin∠2===，cos∠2===，

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，

∴AG=3，

∵GC∥BF，

∴△AGC∽△ABF，

∴

∴BF==

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題