如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC於點M、N，點P在AB的延長線上，且...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC於點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP． 

（1）求*：直線CP是⊙O的切線； 

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求點B到AC的距離；

（3）在第（2）的條件下，求△ACP的周長．

【回答】

（1）*見解析；（2）4；（3）20．

【分析】

（1）利用直徑所對的圓周角為直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判斷出∠ACP=90°即可；

（2）利用鋭角三角函數，即勾股定理即可；

（3）在直角△BCF中，利用勾股定理可以求得CF=2，所以利用平行線分線段成比例分別求得線段PC、PB的長度．則△ACP的周長迎刃可解了．

【詳解】

解：（1）∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵點D在⊙O上，

∴直線CP是⊙O的切線；

（2）如圖，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN=CB=，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，

∴sin∠CAN=，

∴

∴AC=5，

∴AB=AC=5，

設AF=x，則CF=5﹣x，

在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，

在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，

∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，

∴x=3，

∴BF2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即點B到AC的距離為4．

（3）在Rt△BCF中，CF=

∴AF=AC-CF=5-2=3， ∵BF∥CP， ∴,， ∴CP=，BP= ∴△APC的周長是AC+PC+AP=20．

【點睛】

此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和*質，相似三角形的判定和*質，勾股定理，相似三角形的判定和*質，構造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本題的關鍵．

知識點：圓的有關*質

題型：解答題