如圖,⊙O的直徑AB為10cm,弦BC為5cm,D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O,AB的交點,P為AB延長線...
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問題詳情:
如圖,⊙O的直徑AB為10cm,弦BC為5cm,D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O,AB的交點,P為AB延長線上一點,且PC=PE.
(1)求AC、AD的長;
(2)試判斷直線PC與⊙O的位置關係,並説明理由.
【回答】
(1)AC=5,AD=5;(2)直線PC與⊙O相切
【分析】
(1)、連接BD,根據AB為直徑,則∠ACB=∠ADB=90°,根據Rt△ABC的勾股定理求出AC的長度,根據CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形,從而得出AD的長度;(2)、連接OC,根據OA=OC得出∠CAO=∠OCA,根據PC=PE得出∠PCE=∠PEC,然後結合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB,從而得出∠PCB=∠ACO,根據∠ACB=90°得出∠OCP=90°,從而説明切線.
【詳解】
解:(1)、①如圖,連接BD, ∵AB是直徑
∴∠ACB=∠ADB=90°,
在RT△ABC中,AC=
②∵CD平分∠ACB, ∴AD=BD,∴Rt△ABD是直角等腰三角形
∴AD=AB=×10=5cm;
(2)、直線PC與⊙O相切,
理由:連接OC, ∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA
∵PC=PE
∴∠PCE=∠PEC,
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
∵CD平分∠ACB
∴∠ACE=∠ECB
∴∠PCB=∠ACO
∵∠ACB=90°,
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°, OC⊥PC,
∴直線PC與⊙O相切.
考點:(1)、勾股定理;(2)、直線與圓的位置關係.
知識點:勾股定理
題型:解答題