如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線於點E，連接BD．下列結論：①C...

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問題詳情：

如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線於點E，連接BD．下列結論：①CD是⊙O的切線；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC=BO•BE．其中正確結論的個數有（　　）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

【回答】

A 【解析】

解：連結DO． ∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線， ∴∠CBO=90°， ∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中，， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵點D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切線；故①正確， ∵△COD≌△COB， ∴CD=CB， ∵OD=OB， ∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正確； ∵AB為⊙O的直徑，DC為⊙O的切線， ∴∠EDO=∠ADB=90°， ∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°， ∴∠ADE=∠BDO， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∴∠EDA=∠DBE， ∵∠E=∠E， ∴△EDA∽△EBD，故③正確； ∵∠EDO=∠EBC=90°， ∠E=∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴， ∵OD=OB， ∴ED•BC=BO•BE，故④正確；故選：A．由切線的*質得∠CBO=90°，首先連接OD，易*得△COD≌△COB（SAS），然後由全等三角形的對應角相等，求得∠CDO=90°，即可*得直線CD是⊙O的切線，根據全等三角形的*質得到CD=CB，根據線段垂直平分線的判定定理得到即CO⊥DB，故②正確；根據餘角的*質得到∠ADE=∠BDO，等量代換得到∠EDA=∠DBE，根據相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正確；根據相似三角形的*質得到，於是得到ED•BC=BO•BE，故④正確．本題主要考查了切線的判定、全等三角形的判定與*質以及相似三角形的判定與*質，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用是解答此題的關鍵．