如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM於點D，E．（Ⅰ...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM於點D，E．

（Ⅰ）求*：MD=ME；

（Ⅱ）如圖2，連OD，OE，當∠C=30°時，求*：四邊形ODME是菱形．

【回答】

【考點】M5：圓周角定理；L9：菱形的判定．

【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線*質得MA=MB，則∠A=∠MBA，再利用圓內接四邊形的*質*∠MDE=∠MED，於是得到MD=ME；

（2）先*△OAD和△OBE為等邊三角形，再*四邊形DOEM為平行四邊形，然後加上OD=OE可判斷四邊形ODME是菱形．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，點M是AC的中點，

∴MA=MB，

∴∠A=∠MBA；

∵四邊形ABED是圓內接四邊形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

而∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA；

同理可得∠MED=∠A，

∴∠MDE=∠MED，

∴MD=ME；

（2）∵∠C=30°，

∴∠A=60°，

∴∠ABM=60°，

∴△OAD和△OBE為等邊三角形，

∴∠BOE=60°，

∴∠BOE=∠A，

∴OE∥AC，

同理可得OD∥BM，

∴四邊形DOEM為平行四邊形，

而OD=OE，

∴四邊形ODME是菱形．

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了菱形的判定．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題