如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D是AB上一點,以BD為直徑的⊙O和AB相切於點P.(1)求*:BP平...
問題詳情:
如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D是AB上一點,以BD為直徑的⊙O和AB相切於點P.
(1)求*:BP平分∠ABC;
(2)若PC=1,AP=3,求BC的長.
【回答】
(1)*:連接OP, ∵AC是⊙O的切線, ∴OP⊥AC,BC⊥AC, ∴OP∥BC, ∴∠OPB=∠PBC, ∵OP=OB, ∴∠OPB=∠OBP, ∴∠PBC=∠OBP, ∴BP平分∠ABC (2)作PH⊥AB於H. ∵PB平分∠ABC,PC⊥BC,PH⊥AB, ∴PC=PH=1, 在Rt△APH中,AH= =2 , ∵∠A=∠A,∠AHP=∠C=90°, ∴△APH∽△ABC, ∴ = , ∴ = , ∴AB=3 , ∴BH=AB﹣AH= , 在Rt△PBC和Rt△PBH中, , ∴Rt△PBC≌Rt△PBH, ∴BC=BH= . 【考點】全等三角形的判定與*質,角平分線的*質,勾股定理,切線的*質,相似三角形的判定與*質 【解析】【分析】(1) 根據切線的*質易*OP∥BC,由平行線的*質定理得∠OPB=∠PBC,由等邊對等角得∠OPB=∠OBP,進而∠PBC=∠OBP,即BP平分∠ABC;(2) 作PH⊥AB於H. 由角平分線的*質定理得PC=PH=1,在Rt△APH中由勾股定理得AH得長 度,進而判斷出△APH∽△ABC,再由相似三角形的對應邊成比例得出AB的長,進而得出BH的長,再*出Rt△PBC≌Rt△PBH,由全等三角形對應邊成比例就可以得出結論。
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題