如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC的中點．以AC為直徑的⊙O交AB於點E．（1）求*：DE是⊙...

問題詳情：

 如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC的中點．以AC為直徑的⊙O交AB於點E．（1）求*：DE是⊙O的切線；

（2）若AE︰EB=1︰2，BC=6，求AE的長．

【回答】

*：（1）如圖所示，連接OE，CE．

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠AEC=∠BEC=90°.

∵D是BC的中點，

∴ED=BC=DC．

∴∠1=∠2.

∵OE=OC，

∴∠3=∠4．

∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ OED=∠ACD．

∵∠ACD=90°，

∴∠OED=90°，即OE⊥DE．

又∵E是⊙O上一點，

∴DE是⊙O的切線．

（2）由（1）知∠BEC=90°．

在Rt△BEC與Rt△BCA中，∠B為公共角，

∴△BEC∽△BCA．

∴．

即．

∵AE︰EB=1︰2，設AE=x，則BE=2x，BA=3x．

又∵BC=6，

∴．

∴，即AE=．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題