如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB於點E,過點C的切線交AB的延長線於點F, 連接DF. (1)求*...
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問題詳情:
如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB於點E,過點C的切線交AB的延長線於點F, 連接DF.
(1)求*:DF是⊙O的切線;
(2)連接BC,若∠BCF=30°,BF=2,求CD的長.
【回答】
解:(1)*:連接OD,如圖,
∵CF是⊙O的切線,∴∠OCF=90°,
∴∠OCD+∠DCF=90°,∵直徑AB⊥弦CD,
∴CE=ED,即OF為CD的垂直平分線,∴CF=DF,
∴∠CDF=∠DCF,∵OC=OD,∴∠CDO=∠OCD,
∴∠CDO+∠CDF=∠OCD+∠DCF=90°,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切線;
(2)∵∠OCF=90°,∠BCF=30°,∴∠OCB=60°,∵OC=OB,∴△OCB為等邊
三角形,∴∠COB=60°,∴∠CFO=30°,∴FO=2OC=2OB,∴FB=OB=OC=2,
在Rt△OCE中,∵∠COE=60°,∴OE=OC=1,∴CE=,
∴CD=2CE=2.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題